alexp | Загадочное число 142857 (Reply)

Математические свойства

Являясь периодом разложения обыкновенной дроби $\frac{1}{7}$ в десятичную дробь, обладает некоторыми интересными свойствами.

Циклическое число

Если 142 857 умножать на 2, 3, 4, 5 или 6, результаты будут образованы циклическим сдвигом самого числа 142857.

1 × 142857 = 142857
2 × 142857 = 285714
3 × 142857 = 428571
4 × 142857 = 571428
5 × 142857 = 714285
6 × 142857 = 857142
7 × 142857 = 999999

(заметьте, что числа справа являются периодами соответственно $\frac{1}{7}$ , $\frac{2}{7}$ и т. д.)

Обобщения цикличности

Если умножать 142857 на бо́льшие целые числа, результат в некотором смысле также будет какой-либо вариацией числа 142857 или 999999:

8 × 142857 = 11428560000 (после прибавления первой цифры к последней получается 142857)
42 × 142857 = 59999940000 (после прибавления первой цифры к последней получается 999999)
142857 × 142857 = 20408122449 (после прибавления последних шести цифр к первым пяти — 122449 + 20408 — получается 142857)

Более формально, если разбивать полученное произведение на группы по шесть цифр, начиная с единиц, потом складывать эти группы, и повторять эту операцию, пока число имеет более 6 цифр, в конечном итоге мы придём либо к 142857, либо к 999999.

Результаты деления числа на 2 или на 5 (то есть умножения его на $\frac{5}{10}$ или на $\frac{2}{10}$ соответственно) также можно получить сдвигом:

142857 / 2 = 71428.5
142857 / 5 = 28571.4

После возведения в квадрат последних трёх цифр и вычитания из них квадрата первых трёх цифр получится также результат сдвига:

$857^2 = 734449\,$
$142^2 = 20164\,$
$734449 - 20164 = 714285\,$

Как период обыкновенной дроби

Число 142857 также является повторяющейся последовательностью в периодической дроби $\frac{1}{7}$ . Таким образом, умножение этой дроби на числа от 2 до 6 также даёт результаты, дробные части которых получаются друг из друга циклическими сдвигами:

1/7 = 0.14285714285714285714…
2/7 = 0.28571428571428571428…
3/7 = 0.42857142857142857142…
4/7 = 0.57142857142857142857…
5/7 = 0.71428571428571428571…
6/7 = 0.85714285714285714285…

Другие операции

Если число 142857 возвести в квадрат, то получится 20408122449. Если получившееся число разбить на две части 20408 и 122449 и сложить их, то получится исходное число 142857.

Если число 142857 разбить на 2 части, то есть 142 и 857 и сложить их, то получится 999. А если на 3 части, то есть 14, 28 и 57, а потом тоже сложить, то получится 99.